首先要说明的是关于三角函数这个知识点,我已经给同学们专门写了几份讲义稿。因为三角函数这个知识点贯穿整个高中阶段。是高中阶段数学教材中的重点内容,所以同学们一定要理解和掌握三角函数的系统知识。我们在高考时,就不能在三角函数这个知识点上丢分。
下面我从三角函数这个知识点的网络和构建知识的体系上,进行解析三角函数这个知识点的任意角与弧度制。
任意角与弧度制,我首先进行解析任意角。
之一个问题、任意角的意义
1、角的形成
同学们都知道角可以看成是在平面内一条射线绕着它的一个端点,从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。或者说,有公共端点O的两条射线组成的图形就叫做角。这个公共端点O叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。起始位置的射线OA叫做角的始边,终止位置的射线OB叫做角的终边。如果这条射线按逆时针的方向旋转所形成的角,我们规定它为正角。如果这条射线按顺时针的方向旋转所形成的角,我们规定它为负角。一条射线,围绕它的一个端点O旋转一周,无论逆时针旋转还是顺时针旋转,也无论旋转几周,又回到原来的位置,我们规定它为周角。还可以说,当终边OB与始边OA重合时所形成的角叫做周角。如果一条射钱没有作任何的旋转,我们就规定它为零角。
2、象限角
在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合。角的始边与横轴的正半轴重合,那么角的终边旋转到第几项限停止不动,就说明它是第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上,这个角就不属于象限角。那么这个类型的角有三种情况,(1)、始边在横轴上,终边落在纵轴上,这样的角就是直角,(2)、始边在横轴的半轴上,终边落在横轴的另一半轴上的角就是平角。(3)、终边旋转之后又与始边重合,这样的角就是周角。
3、终边相同的角
所有与角α终边相同的角,包括角α在内可以构成一个 *** ,s={β|β=α+K.360度,k∈Z}。就是任意一个与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整个周角的和。
我们再深入的探讨一下,终边相同,角不一定相同。如果K是整数,α是任意角,那么与角α相同的角却有无数个角。它们相差却是360度的整数倍。
关于与角α终边共线或垂直的角,以及终边在特殊位置上角的 *** ,在这里我就不再分别列举了。这两个问题留给同学们自己通过研读教材和教参,能够做到独立完成这个学习任务。
第二个问题、弧度制的意义
1、什么是弧度制
讨论弧度制的意义必须明确角度制,下面就结合角度制来研究弧度制,目标就是要理解和掌握什么是弧度制。
我们用度作为单位来度量角的单位叫做角度制;用弧度作单位来度量角的单位叫做弧度制。同学们把这两个概念要理顺清楚。
把长度单位等于半径的弧所对的圆心角叫做一弧度的角。注意,弧度用字符串rad来表示。一般的情况下,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数则是一个负数。零角的弧度数是Q,如果半径是r的圆的圆心角α,所对的弧长为L,那么角α弧度数的绝对值为:丨α丨=1/r。这里α的正负由角α的终边旋转方向所决定的。
同学们我们解析到这里,还要做几点提示:
之一点、弧度角的大小,与所取圆的半径大小无关;
第二点、用弧度的大小来表示角的大小时,"弧度"两个字可以省略不写。但是用"度"做单位表示角时这个度(。)不能省略,一定要写清楚。
第三点、在弧度制下,角的 *** 与实数集R之间建立起来了对应的关系。
2、角度与弧度的换算法则
360度=2πrad,180度=πrad
1度=π/180乘以rad
≈0.01745rad
1rad=(180/π)度=57.30度
=57度18分
(注意、度和分、秒,一要用符号o,',",来表示,不能用汉字表示,以后不在提示)
3、弧度制下扇形的弧长公式和面积公式
(1)、弧长公式
L=丨α丨乘以r
(2)、面积公式
S=1/2乘以Lr
=1/2的绝对值丨α丨乘以r²
要注意、其中L为弧长,r为圆的半径,α为圆心角的弧度数。
(同学们要注意,这两个公式,在这里用文字表达,有可能不太准确,要以现行教材上的公式为准)
下面我们共同做一道试题
已知角α是之一项限角,那么α/2,2α是第几象限角?
解、是之一象限角
∴K乘以360度<α<90度+k
乘以360度
∴K乘以180度<α/2<45度
+K乘以180度
∴α/2为之一象限角
或第三象限角
k乘以720度<2α<180度+
K乘以720度
∴2α为之一三象限角
或终边在y轴的非负半轴上。
请同学们注意,这个解题是否有错误的地方?要求同学们自己再重新做一遍,做完之后再和讲义中的整个解题过程进行对照。
(本讲义有错误的地方,希望同学们和编审老师给予批评指正。谢谢!)