完全平方数定义
指两个相同数相乘所得的数,例如:16=4×4,16就是一个完全平方数(或称平方数),还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方,那么这个数就是完全平方数。表达式为:A=a²。
1~1000内的完全平方数
完全平方数的性质
① 完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9;不可能出现 2,3,7,8
在数论的各种问题中,确定末位数字十分重要。
② 完全平方数的因数个数为奇数。这个可以通过因数个数公式来推理证明。
③ 完全平方数除以5的余数只能是0,1,4,可以通过性质①来证明。
④ 完全平方数除以3的余数只能是0,1。证明如下。
⑤ 凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;
尾数只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数;
⑥ 奇数的平方的个位数字为奇数,而十位数字为偶数;
⑦ 如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数;
⑧ 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9;(多位数)
⑨ 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数;
⑩ 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个完全平方数。
一、完全平方数的概念
完全平方数是这样的一种数,它可以写成一个正整数的平方。例如36等于6×6,25等于5×5,121等于11×11。
二、完全平方数的性质
性质1:从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数。
应用等差数列之事即可证明。
性质2:每一个完全平方数的末位数是0、1、4、5、6或9。
这其实是显而易见的。末位数也就是个位数,我们只需要计算个位数的乘积即可。性质3:每一个完全平方数,要么能被3整除,要么减1能被3整除。
先观察下面这些数字。
1、2、3;4、5、6;7、8、9;10、11、12;因为讨论的是与3有关的整除性质,我们把正整数分为3个类型分别进行讨论。性质4:每一个完全平方数,要么能被4整除,要么减1能被4整除。
这条性质也不难证明。一个正整数,要么是奇数,要么就是偶数。对于两个相同的偶数相乘,乘积必然能被4整除;下面考虑奇数的情况。性质5:每一个完全平方数,要么能被5整除,要么加1或减1能被5整除。
仿照证明性质3的方法进行分类讨论。
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