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如何求等边三角形

admin 好物 2023-12-02 03:34:58 396 0

一道高中题-求解等边三角形

已知等边三角形ABC内部有一个点P, 并且PA=8, PB=6, PC=10,求这个等边三角形的面积。

解:注意到一个现象,

说明把这三个线段聚在一起可以构成一个直角三角形。

因此做下面的辅助三角形ABP’,

点P’的形成是将三角形ACP绕着点A顺时针旋转60度形成的。

那么显然三角形APC全等于三角形AP’B,

这样的话AP=AP’, P’B=PC

由于∠P’AB+∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°, 且有AP=AP’,

所以三角形AP’P是等边三角形, 因此P’P=AP=8,

在三角形P’PB中,P’B=PC=10, BP=6, P’P=8, 所以三角形P’PB是直角三角形。

设∠BP’P=α

根据正弦和余弦的定义:

sinα=6/10=3/5

cosα=8/10=4/5

那么角∠BP’A=α+60°

在三角形AP’B中,根据余弦定理:

所以等边三角形的面积为:

解法2:也可以利用高中的解析几何知识求解这个问题, 如图建立底边的中点为坐标原点,然后按照两点之间的距离公式列出三个方程, 求解, 但这种方法计算繁杂。

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