二叉树很重要
树是数据结构中的重中之重，尤其以各类二叉树为学习的难点。单就面试而言，在 leetcode 中二叉树相关的题目占据了300多道。同时，二叉树在整个算法板块中还起到承上启下的作用：不但是数组和链表的延伸，又可以作为图的基础。
举个例子，比如说我们的经典算法「快速排序」和「归并排序」，对于这两个算法，你有什么理解？如果你告诉我，快速排序就是个二叉树的前序遍历，归并排序就是个二叉树的后序遍历，那么我就知道你是个算法高手了。
一些概念
结点
结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位
树
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点； 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个 *** 本身又是一棵树，并且称为根的子树。此外，树的定义还需要强调以下两点：
n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。 m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。一颗普通的树
结点的度
wWW。KemaOwanG.oRG。Cn结点拥有的子树数目称为结点的度。
结点层次
从根开始定义起，根为之一层，根的孩子为第二层，以此类推
wWW。KemaOwanG.oRG。Cn二叉树
定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限 *** ，该 *** 或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
二叉树特点
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。 2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。 3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
二叉搜索树
二叉搜索树又被称为二叉排序树，那么它本身也是一棵二叉树，那么满足以下性质的二叉树就是二叉搜索树：
1、若左子树不为空，则左子树上左右节点的值都小于根节点的值 2、若它的右子树不为空，则它的右子树上所有的节点的值都大于根节点的值 3、它的左右子树也要分别是二叉搜索树平衡二叉树
平衡二叉树（Balanced BinaryTree）又被称为AVL树。它具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
wWW。KemaOwanG.oRG。Cn满二叉树
在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。 满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2）非叶子结点的度一定是2。 3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。完全二叉树
从根往下数，除了最下层外都是全满（都有两个子节点），而最下层所有叶结点都向左边靠拢填满。 构造一颗完全二叉树就是【从上到下，从左往右】的放置节点。
满二叉树和完全二叉树的区别
左侧为满二叉树但不是完全二叉树，要补全的话可以给第二层最左节点下加两个子节点，或删除当前最下层的两个节点。 右侧是一颗完全二叉树但并不是满二叉树，因为最下层最后一个节点没有兄弟节点，即其父节点只有一个子节点，不满，补满的话再加一个右子节点即可【满二叉树的节点要么没孩子，要有就一定得是俩】。二叉树的存储结构（序列化）
顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？下图浅颜色的为空
其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。 因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图所示：
wWW。KemaOwanG.oRG。Cn二叉树遍历
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。 二叉树的访问次序可以分为四种：
前序遍历 中序遍历 后序遍历 层序遍历前序遍历：根-左-右
中序遍历：左-根-右
后序遍历：左-右-根
层序遍历：从根节点出发，依次访问左右孩子结点，再从左右孩子出发，依次它们的孩子结点，直到节点访问完毕
代码
递归遍历模板
public static class Node{ public int value; public Node left; public Node right; public Node(int v){ value =v; } } //遍历模板 public static void f(Node head){ if (head == null){ return; } //1 f(head.left); //2 f(head.right); //3 } 复制代码递归前序遍历
//前序遍历 根--》左--》右 public static void pre(Node head){ if (head == null){ return; } System.out.println(head.value); pre(head.left); pre(head.right); } 复制代码递归中序遍历
//前序遍历 根--》左--》右 public static void pre(Node head){ if (head == null){ return; } System.out.println(head.value); pre(head.left); pre(head.right); } 复制代码递归后序遍历
//后序遍历 左--》右--》根 public static void pos(Node head){ if (head == null){ return; } pos(head.left); pos(head.right); System.out.println(head.value); } 复制代码非递归前序遍历
//前序遍历 根--》左--》右 public static void unRecursivePre(Node head){ if (head!=null){ Stack<Node> stack = new Stack<>(); stack.add(head); while (!stack.isEmpty()){ head = stack.pop(); System.out.println(head.value); if (head.left!=null){ stack.add(head.left); } if (head.right!=null){ stack.add(head.right); } } } } 复制代码非递归中序遍历
//前序遍历 左--》根--》右 public static void unRecursiveIn(Node head){ if (head!=null){ Stack<Node> stack = new Stack<>(); stack.add(head); while (!stack.isEmpty() || head!=null){ if (head!=null){ stack.push(head); head = head.left; }else { head = stack.pop(); System.out.println(head.value); head = head.right; } } } } 复制代码非递归后序遍历
//左--》右--》根 public static void unRecursivePos(Node head){ if (head!=null){ Stack<Node> s1 = new Stack<>(); Stack<Node> s2 = new Stack<>(); s1.push(head); while (!s1.isEmpty()){ head =s1.pop(); s2.push(head); if (head.left!=null){ s1.push(head.left); } if (head.right!=null){ s1.push(head.right); } } while (!s2.isEmpty()){ System.out.println(s2.pop()); } } } 复制代码层遍历
public static void level(Node head){ if (head == null){ return; } Queue<Node> queue = new LinkedList<>(); queue.add(head); while (!queue.isEmpty()){ Node cur = queue.poll(); System.out.println(cur.value); if (cur.left!=null){ queue.add(cur.left); } if (cur.right!=null){ queue.add(cur.right); } } } 复制代码序列化（模板方法）
public static class Node{ public int value; public Node left; public Node right; public Node(int v){ value =v; } } public static Queue<String> fSerial(Node head){ Queue<String> ans = new LinkedList<>(); fpres(head,ans); return ans; } public static void fpres(Node head,Queue<String> ans){ if (head == null){ ans.add(null); }else { //1 ans.add(String.valueOf(head.value)); //2 fpres(head.left,ans); //3 fpres(head.right,ans); } } 复制代码计算二叉树的更大宽度
public static class Node { public int value; public Node left; public Node right; public Node(int v) { value = v; } } public static int maxWidthUseMap(Node head) { if (head == null) { return 0; } Queue<Node> queue = new LinkedList<>(); queue.add(head); // key 在哪一层 value HashMap<Node, Integer> levelMap = new HashMap<>(); levelMap.put(head, 1); int curLevel = 1;//当前正在统计的层 int curLevelNodes = 0; //当前层的宽度是多少。 int max = 0; while (!queue.isEmpty()) { Node cur = queue.poll(); int curNodeLevel = levelMap.get(cur); if (cur.left != null) { levelMap.put(cur.left, curNodeLevel + 1); queue.add(cur.left); } if (cur.right != null) { levelMap.put(cur.right, curNodeLevel + 1); queue.add(cur.right); } if (curLevelNodes == curLevel) { curLevelNodes++; } else { max = Math.max(max, curLevelNodes); curLevel++; curLevelNodes = 1; } } max = Math.max(max, curLevelNodes); return max; } public static int maxWidthNoMap(Node head) { if (head == null) { return 0; } Queue<Node> queue = new LinkedList<>(); queue.add(head); Node curEnd = head;//当前层，最右节点是谁 Node nextEend = null;//下一层，最右侧节点是谁 int max = 0; int curLevelNodes = 0;//当前节点数 while (!queue.isEmpty()) { Node cur = queue.poll(); if (cur.right != null) { queue.add(cur.right); nextEend = cur.left; } if (cur.left != null) { queue.add(cur.left); nextEend = cur.left; } curLevelNodes++; if (cur == curEnd){ max = Math.max(max,curLevelNodes); curLevelNodes =0; //当前节点清0 curEnd = nextEend; } } return max; } 复制代码二叉树模板代码解决折纸问题
问题
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。 此时折痕是凹下去的，即折痕凸起的方向指向纸条的背面。
如果从纸条的下边向上方对折2次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕，下折痕和上折痕。
给定一个输入参数N,代表纸条都从下边向上方连续对折N次。请从上到下打印所有的折痕的方向。
例如：N=1时，打印: down 。N=2时，打印：down down up
规律，大于一次后，每次折痕出现的位置都是在上次折痕的上方出现凹折痕，下方出现凸折痕。所以我们没必要构建这颗树，就可以用递归思维解决（即 ：参考二叉树递归遍历模板）
对应的树结构按层输出为： 1凹 2凹 2凸 3凹 3凸 3凹 3凸 复制代码 public static void printAllFolds(int N) { // 先从头结点出发，i初始值为1，切之一次的头结点折痕为凹折痕 printProcess(1, N, true); } // 递归过程，来到了某一个节点， // i是节点的层数，N一共的层数，down == true 凹 down == false 凸 public static void printProcess(int i, int N, boolean down) { if (i > N) { return; } printProcess(i + 1, N, true); System.out.println(down ? "凹 " : "凸 "); printProcess(i + 1, N, false); } public static void main(String[] args) { int N = 3; printAllFolds(N); } 复制代码二叉树的递归套路
套路总结
1）假设以X节点为头，假设可以向X左树和X右树要任何信息 2）在上一步的假设下，讨论以X为头节点的树，得到答案的可能性（最重要） 3）列出所有可能性后，确定到底需要向左树和右树要什么样的信息 4）把左树信息和右树信息求全集，就是任何一棵子树都需要返回的信息S 5）递归函数都返回S，每一棵子树都这么要求 6）写代码，在代码中考虑如何把左树的信息和右树信息整合出整棵树的信息判断二叉树是否是搜索二叉树（利用套路）
public static class Node { public int value; public Node left; public Node right; public Node(int data) { this.value = data; } } //节点的可以得到的信息 public static class Info { boolean isBST; public int min; public int max; public Info(boolean is, int mi, int ma) { isBST = is; min = mi; max = ma; } } //开始组装节点返回信息 （重要） public static Info process(Node head) { if (head == null) { return null; } Info leftInfo = process(head.left); Info rightInfo = process(head.right); int min = head.value; int max = head.value; if (leftInfo != null) { min = Math.min(min, leftInfo.min); max = Math.max(max, leftInfo.max); } if (rightInfo != null) { min = Math.min(min, rightInfo.min); max = Math.max(max, rightInfo.max); } //设置可能性 boolean isBST = false; if ( (leftInfo == null ? true : (leftInfo.isBST && leftInfo.max < head.value)) && (rightInfo == null ? true : (rightInfo.isBST && rightInfo.min > head.value)) ) { isBST = true; } return new Info(isBST, min, max); } public static boolean isBST(Node head) { if (head == null) { return true; } return process(head).isBST; } 复制代码判断一个树是不是平衡二叉树（利用套路解）
public static boolean isBalanced(Node head) { return process(head).isBalaced; } // 左、右要求一样，Info 信息返回的结构体 public static class Info { public boolean isBalaced; public int height; public Info(boolean b, int h) { isBalaced = b; height = h; } } public static Info process(Node X) { if (X == null) { return new Info(true, 0); } Info leftInfo = process(X.left); Info rightInfo = process(X.right); int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1; boolean isBalanced = true; // 设置不是的情况 if (!leftInfo.isBalaced || !rightInfo.isBalaced || Math.abs(leftInfo.height - rightInfo.height) > 1) { isBalanced = false; } return new Info(isBalanced, height); } 复制代码二叉树和快速排序和归并排序的联系
前文讲到，，快速排序就是个二叉树的前序遍历，归并排序就是个二叉树的后序遍历。为什么快速排序和归并排序能和二叉树扯上关系？我们来简单分析一下他们的算法思想和代码框架：
快排
快速排序的逻辑是，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先找一个分界点 p，通过交换元素使得 nums[lo..p-1] 都小于等于 nums[p]，且 nums[p+1..hi] 都大于 nums[p]，然后递归地去 nums[lo..p-1] 和 nums[p+1..hi] 中寻找新的分界点，最后整个数组就被排序了。
快速排序的代码框架如下：
void sort(int[] nums, int lo, int hi) { /****** 前序遍历位置 ******/ // 通过交换元素构建分界点 p int p = partition(nums, lo, hi); /************************/ sort(nums, lo, p - 1); sort(nums, p + 1, hi); } 复制代码先构造分界点，然后去左右子数组构造分界点，你看这不就是一个二叉树的前序遍历吗？
归并排序
归并排序的逻辑，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先对 nums[lo..mid] 排序，再对 nums[mid+1..hi] 排序，最后把这两个有序的子数组合并，整个数组就排好序了。
归并排序的代码框架如下：
void sort(int[] nums, int lo, int hi) { int mid = (lo + hi) / 2; sort(nums, lo, mid); sort(nums, mid + 1, hi); /****** 后序遍历位置 ******/ // 合并两个排好序的子数组 merge(nums, lo, mid, hi); /************************/ } 复制代码 wWW。KemaOwanG.oRG。Cn先对左右子数组排序，然后合并（类似合并有序链表的逻辑），你看这是不是二叉树的后序遍历框架？
贪心算法
贪心算法，又名贪婪法，是寻找更优解问题的常用方法，这种方法模式一般将求解过程分成若干个步骤，但每个步骤都应用贪心原则，选取当前状态下更好/更优的选择（局部最有利的选择），并以此希望最后堆叠出的结果也是更好/更优的解。 主要理解如下：
1）最自然智慧的算法 2）用一种局部最功利的标准，总是做出在当前看来是更好的选择 3）难点在于证明局部最功利的标准可以得到全局更优解 4）对于贪心算法的学习主要以增加阅历和经验为主贪心算法和堆
堆是一种非常灵活的数据结构，我们可以单独地使用它来解决很多有趣的问题。而且，由于堆的定义本来就有更优的含义，所以它与贪心算法有着天然的联系。
而堆这种数据结构本质是一个完全二叉树。
贪心法的基本步骤：
步骤1：从某个初始解出发； 步骤2：采用迭代的过程，当可以向目标前进一步时，就根据局部更优策略，得到一部分解，缩小问题规模； 步骤3：将所有解综合起来。应用场景（切金条）
一块金条切成两半，是需要花费和长度数值一样的铜板的。 比如长度为20的金条，不管怎么切，都要花费20个铜板。 一群人想整分整块金条，怎么分最省铜板?
例如,给定数组{10,20,30}，代表一共三个人，整块金条长度为60，金条要分成10，20，30三个部分。
如果先把长度60的金条分成10和50，花费60; 再把长度50的金条分成20和30，花费50;一共花费110铜板。 但如果先把长度60的金条分成30和30，花费60;再把长度30金条分成10和20， 花费30;一共花费90铜板。 输入一个数组，返回分割的最小代价。
public static int lessMoney(int[] arr) { PriorityQueue<Integer> pQ = new PriorityQueue<>(); for (int i = 0; i < arr.length; i++) { pQ.add(arr[i]); } int sum = 0; int cur = 0; while (pQ.size() > 1) { cur = pQ.poll() + pQ.poll(); sum += cur; pQ.add(cur); } return sum; } 复制代码ps:文中部分图片来自网络，侵删！
