本文将利用传统的几何法探究圆锥曲线的光学性质以及蒙日圆。
椭圆
椭圆的光学性质：从椭圆的某一焦点发射一束光线，经椭圆反射后，反射光线过另一焦点。
证明：如图所示：点 F1,F2F_1,F_2 分别为椭圆的左、右焦点，点 AA 为椭圆上一点，直线 AMAM 是椭圆在该处的切线。点 F1F_1 关于直线 AMAM 的对称点为 F1′F_1 。设直线 F1′F2F_1F_2 交直线 AMAM 于点 A′A ，那么从点 F1F_1 发出的光线至 A′A 由镜面 AMAM 反射后，反射光线必过点 F2F_2 ，因此仅需证：点 AA 与点 A′A 重合。
注意到，点 A′A 是直线 AMAM 上满足到点 F1,F2F_1,F_2 距离之和最小的点，而若 A≠A′A\ne A ，则点 A′A 在椭圆外部，则|AF1|+|AF2|=2a<|A′F1|+|A′F2||AF_1|+|AF_2|=2a<|AF_1|+|AF_2| ，矛盾，因此点 A,A′A,A 重合，证毕。
等角性质
如图所示，点 PP 为椭圆外一点，直线 PA,PBPA,PB 为椭圆的两条切线，则有 ∠F1PA=∠F2PB∠F_1PA=∠F_2PB 。
证明：如图所示
设点 F1′F_1 为点 F1F_1 关于直线 APAP 的对称点，点 F2′F_2 为点 F2F_2 关于直线 BPBP 的对称点。由椭圆的光学性质得， F1′,A,F2F_1,A,F_2 三点共线， F1,B,F2′F_1,B,F_2 三点共线。
注意到 |F1′F2|=|F1′A|+|AF2|=|AF1|+|AF2|=2a|F_1F_2|=|F_1A|+|AF_2|=|AF_1|+|AF_2|=2a ，同理得 |F1F2′|=2a|F_1F_2|=2a ，所以 |F1′F2|=|F1F2′||F_1F_2|=|F_1F_2| 。又 |PF1′|=|PF1|,|PF2|=|PF2′||PF_1|=|PF_1|,|PF_2|=|PF_2| ，所以 △PF1′F2≅△PF1F2′△PF_1F_2\cong△PF_1F_2 ，从而 ∠F1′PF2=∠F1PF2′∠F_1PF_2=∠F_1PF_2 ，即 ∠F1PF1′=∠F2PF2′∠F_1PF_1=∠F_2PF_2 。又 ∠F1′PF1=2∠F1PA,∠F2′PF2=2∠F2PB∠F_1PF_1=2∠F_1PA,∠F_2PF_2=2∠F_2PB ，所以 ∠F1PA=∠F2PB∠F_1PA=∠F_2PB ，证毕。
椭圆的蒙日圆
若上图中 PA⊥PBPA⊥PB ，试确定点 PP 的轨迹。
分析：因为 PA⊥PBPA⊥ PB ，所以 ∠APB=90°∠APB=90° ，所以 ∠F1PF2′=90°∠F_1PF_2=90° 。在直角三角形 F1PF2′F_1PF_2 中，由勾股定理得 |PF1|2+|PF2′|2=|F1F2′|2|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2 ，即 |PF1|2+|PF2|2=(2a)2|PF_1|^2+|PF_2|^2=(2a)^2 。由中线长公式 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|OF1|2)=2(|PO|2+c2)|PF_1|^2+|PF_2|^2=2(|PO|^2+|OF_1|^2)=2(|PO|^2+c^2) ，那么 |PO|2=a2+b2|PO|^2=a^2+b^2 。
因此，点 PP 的轨迹是以椭圆中心 OO 为圆心， a2+b2\sqrt{a^2+b^2} 为半径的圆。
双曲线
双曲线的光学性质：过双曲线的某一焦点发出一条光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点。
证明：如图所示：点 F1,F2F_1,F_2 分别为双曲线的左、右焦点，点 AA 为双曲线上一点，直线 AMAM 是双曲线在该处的切线。点 F2F_2 关于直线 AMAM 的对称点为 F2′F_2 。设直线 F1F2′F_1F_2 交直线 AMAM 于点 A′A ，那么从点 F2F_2 发出的光线至 A′A 由镜面 AMAM 反射后，反射光线的反向延长线必过点 F1F_1 ，因此仅需证：点 AA 与点 A′A 重合。
注意到，点 A′A 是直线 AMAM 上满足到点 F1,F2F_1,F_2 距离之差的绝对值更大的点，而若 A≠A′A\ne A ，则点 A′A 在双曲线外部，则||AF_1|-|AF_2||">||AF1|−|AF2||=2a>||A′F1|−|A′F2||||AF_1|-|AF_2||=2a>||AF_1|-|AF_2|| ，矛盾，因此点 A,A′A,A 重合，证毕。
等角性质
如图所示，点 PP 为双曲线外一点，直线 PA,PBPA,PB 为双曲线的两条切线，则有 ∠F1PA=∠F2PB∠F_1PA=∠F_2PB 。
证明：如图所示
设点 F1′F_1 为点 F1F_1 关于直线 APAP 的对称点，点 F2′F_2 为点 F2F_2 关于直线 BPBP 的对称点。由双曲线的光学性质得， F1′,A,F2F_1,A,F_2 三点共线， F1,B,F2′F_1,B,F_2 三点共线。
注意到 |F1′F2|=||F1′A|−|AF2||=||AF1|−|AF2||=2a|F_1F_2|=||F_1A|-|AF_2||=||AF_1|-|AF_2||=2a ，同理得 |F1F2′|=2a|F_1F_2|=2a ，所以 |F1′F2|=|F1F2′||F_1F_2|=|F_1F_2| 。又 |PF1′|=|PF1|,|PF2|=|PF2′||PF_1|=|PF_1|,|PF_2|=|PF_2| ，所以 △PF1′F2≅△PF1F2′△PF_1F_2\cong△PF_1F_2 ，从而 ∠F1′PF2=∠F1PF2′∠F_1PF_2=∠F_1PF_2 ，即 ∠F1PF1′=∠F2PF2′∠F_1PF_1=∠F_2PF_2 。又 ∠F1′PF1=2∠F1PA,∠F2′PF2=2∠F2PB∠F_1PF_1=2∠F_1PA,∠F_2PF_2=2∠F_2PB ，所以 ∠F1PA=∠F2PB∠F_1PA=∠F_2PB ，证毕。
双曲线的蒙日圆
若上图中 PA⊥PBPA⊥PB ，试确定点 PP 的轨迹。
分析：因为 PA⊥PBPA⊥ PB ，所以 ∠APB=90°∠APB=90° ，所以 ∠F1PF2′=90°∠F_1PF_2=90° 。在直角三角形 F1PF2′F_1PF_2 中，由勾股定理得 |PF1|2+|PF2′|2=|F1F2′|2|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2 ，即 |PF1|2+|PF2|2=(2a)2|PF_1|^2+|PF_2|^2=(2a)^2 。由中线长公式 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|OF1|2)=2(|PO|2+c2)|PF_1|^2+|PF_2|^2=2(|PO|^2+|OF_1|^2)=2(|PO|^2+c^2) ，那么 |PO|2=a2−b2|PO|^2=a^2-b^2 。
当 b">a>ba>b 时，点 PP 的轨迹是以 OO 为圆心， a2−b2\sqrt{a^2-b^2} 为半径的圆；
当 a=ba=b 时，点 PP 的轨迹即点 OO ；
当 a<ba<b 时，点 PP 的轨迹不存在。
抛物线
抛物线的光学性质：由抛物线的焦点发射出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴射出。
证明：如图所示，点 AA 为抛物线上一点，点 OO 为抛物线中心，点 FF 为抛物线的焦点， AMAM 为点 AA 处的切线且与对称轴交于点 MM 。过点 OO 作对称轴的垂线 ll 。直线 AMAM 与 ll 交于点 CC ，过点 AA 作准线的垂线 AF′AF ，分别交直线 ll 与准线于点 B,CB,C 。
（在物理课上我们已经证明了点 CC 为 OBOB 中点，这使得 |MO|=|AB||MO|=|AB| ，从而有 MF=AF′MF=AF ，所以四边形 AFMF′AFMF 为平行四边形，又 |AF|=|AF′||AF|=|AF| ，因此四边形 AFMF′AFMF 为菱形，于是 AMAM 平分 ∠F′AF∠FAF ，即证抛物线的光学性质。）
等角性质
设点PP 为抛物线凸侧一点，点 FF 为抛物线的焦点，过点 PP 做抛物线的切线 PA,PBPA,PB ，分别以 A,BA,B 为切点。过点 PP 作对称轴的平行线 PRPR ，则有 ∠BPR=∠APF∠BPR=∠APF 。
证明：如图所示
设点 FF 关于直线 PB,PAPB,PA 的对称点分别为 F′,F″F,F 。由抛物线的光学性质，点 F′F 在准线上，且 BF′BF 与准线垂直，点 F″F 类似。直线 PRPR 关于直线 PBPB 的对称直线为 PSPS 。
因为 |PF′|=|PF|=|PF″||PF|=|PF|=|PF| ，且 PR⊥F′F″PR⊥FF ，所以 PRPR 垂直平分线段 F′F″FF ，因此 ∠F′PR=∠F″PR∠FPR=∠FPR，又 ∠F′PR=∠FPS∠FPR=∠FPS ，所以 ∠F″PR=∠FPS∠FPR=∠FPS ，所以 ∠F″PF=∠RPS∠FPF=∠RPS 。又 ∠F″PF=2∠APF,∠RPS=2∠BPR∠FPF=2∠APF,∠RPS=2∠BPR ，从而 ∠APF=∠BPR∠APF=∠BPR 。
抛物线的“蒙日圆”
若 PA⊥PBPA⊥PB ，试确定点 PP 的轨迹。
因为PA⊥PBPA⊥PB ，所以 ∠APB=90°∠APB=90° 。而 ∠F′PB+∠BPF+∠FPA+∠F″PA=2(∠BPF+∠FPA)=2∠APB=180°∠FPB+∠BPF+∠FPA+∠FPA=2(∠BPF+∠FPA)=2∠APB=180° ，所以 F′,P,F″F,P,F 三点共线，所以点 PP 的轨迹为抛物线的准线。
友情提示：括号内是抖机灵的内容，等我发现了严格的几何证明再来填坑。
